威海市古寨中学

. 等腰三角形（二）

一、学生知识状况分析

在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。

二、教学任务分析

本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。

学习目标：

1、通过探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性；

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展初步的演绎逻辑推理的能力；

3、在命题的变式中，发展提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学习能力和思维能力，提高学习的主体性；

4、在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉；

5、体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．

教学重、难点

重难点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论．

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题  变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质； 第五环节： 随堂练习 及时巩固 ；第六环节：探讨收获  课时小结。

第一环节：提出问题，引入新课

活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：

在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?

活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。

第二环节：自主探究

活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。

活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。

活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：

你可能得到哪些相等的线段？

你如何验证你的猜测？

你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程；

还可以有哪些证明方法？

通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出：

等腰三角形两个底角的平分线相等；

等腰三角形腰上的高相等；

等腰三角形腰上的中线相等．

并对这些命题给予多样的证明。

如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

证法1：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．

∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

证法2：证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

又∵∠3=∠4．

在△ABC和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．

在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导。

第三环节：拓展延伸

活动内容：提请学生思考，除了角平分线、中线、高等特殊的线段外，还可以有哪些线段相等？

在等腰三角形ABC中，

(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?

(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到什么结论?

活动目的：提高学生变式能力、问题拓广能力，发展学生学习的自主性。

活动注意事项与效果：教学中应注意对学生的引导，因为学生先前这样的经验比较少，可能学生一时不知如何研究问题，教师可以引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢?从而引出“议一议”。

由于课堂时间有限，如果学生全部解决上述问题，时间不够，可以在引导学生提出上述这些问题的基础上，让学生证明其中部分问题，而将其余问题作为课外作业，延伸到课外；当然，也可以对不同的学生提出不同的要求，如普通学生仅仅证明其中部分问题，而要求部分学优生解决所有的问题，甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题，你是如何想到这些问题的”。

在学生解决问题的基础上，教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。

下面是学生的课堂表现：

[生]在等腰三角形ABC中，如果∠ABD=∠ABC，那么BD=CE．这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似．证明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．

又∵∠ABD=∠ABC, ∴∠ACE=∠ACB,

∴∠ABD=∠ACE．

在△BDC和△CEB中，

∵∠ABD=∠ACE，BC=CB，∠ACB=∠ABC,

∴△BDC≌△CEB(ASA)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

[生]如果在△ABC中，AB=AC, ∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠∠ACB，那么BD=CE也是成立的．因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE，△BDC与△CEB全等的条件就能满足，也就能得到BD=CE．由此我们可以发现：

在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠∠ABC，∠ACE=∠ACB，就一定有BD=CE成立．

[生]也可以更直接地说：在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE．

 [师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论．请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来．(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问，请小组代表发言．

[生]在△ABC中，AB=AC，如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．由此我们得到了一个更一般的结论：在△ABC中，AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE．证明如下：

∵AB=AC．

又∵AD=AC，AE=AB，

∴AD=AE．

在△ADB和△AEC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC(SAS)．

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．

[生]一般结论也可更简洁地叙述为：在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE．

[师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论，这是我们研究数学问题常用的一种思想方法，它会使我们得到意想不到的效果．例如通过对这两个问题的研究，我们可以发现等腰三角形中，相等的线段有无数组．这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的．

第四环节：：小试牛刀

1. 求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等

2、在△ABC中，AB=AC，M为边的中点，ME⊥AB, MF⊥AC

BD⊥AC,试猜想线段BD、EM、EF的数量关系，并验证你的猜想

若M是BC延长线上任一点,你上面的猜想是否依然成立

   第五环节：探讨收获  课时小结

本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段，并由特殊结论归纳出一般结论，