. 等腰三角形(二) 一、学生知识状况分析 在八年级上册第七章《平行线的证明》,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,习得了一些基本的证明方法和基本规范,积累了一定的证明经验;在七年级下,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题;而前一课时,学生刚刚证明了等腰三角形的性质,这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。
二、教学任务分析 本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理,进一步研究等腰三角形的一些特殊性质,探索等边三角形的性质。 学习目标: 1、通过探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段,进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式,体会证明的必要性; 2、经历“探索-发现-猜想-证明”的过程,进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展初步的演绎逻辑推理的能力; 3、在命题的变式中,发展提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学习能力和思维能力,提高学习的主体性; 4、在图形的观察中,揭示等腰三角形的本质:对称性,发展学生的几何直觉; 5、体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性. 教学重、难点 重难点:经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程,能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:第一环节:提出问题,引入新课;第二环节:自主探究;第三环节:经典例题 变式练习;第四环节:拓展延伸、探索等边三角形性质; 第五环节: 随堂练习 及时巩固 ;第六环节:探讨收获 课时小结。
第一环节:提出问题,引入新课 活动内容:在回忆上节课等腰三角形性质的基础上,提出问题: 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗? 活动目的:回顾性质,既为后续研究判定提供了基础;同时,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于提高学生提出问题的能力。
第二环节:自主探究 活动内容:在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等),观察其中有哪些相等的线段,并尝试给出证明。 活动目的:让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,进一步体会证明的必要性,并进行证明,从中进一步体会证明过程,感受证明方法的多样性。 活动效果与注意事项:活动中,教师应注意给予适度的引导,如可以渐次提出问题: 你可能得到哪些相等的线段? 你如何验证你的猜测? 你能证明你的猜测吗?试作图,写出已知、求证和证明过程; 还可以有哪些证明方法? 通过学生的自主探究和同伴的交流,学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出: 等腰三角形两个底角的平分线相等; 等腰三角形腰上的高相等; 等腰三角形腰上的中线相等. 并对这些命题给予多样的证明。 如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”,学生得到了下面的证明方法: 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD、CE是△ABC的角平分线. 证法1:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). ∵∠1=∠ABC,∠2=∠ABC, ∴∠1=∠2. 在△BDC和△CEB中, ∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠1=∠2. ∴△BDC≌△CEB(ASA). ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) 证法2:证明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. 又∵∠3=∠4. 在△ABC和△ACE中, ∠3=∠4,AB=AC,∠A=∠A. ∴△ABD≌△ACE(ASA). ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等). 在证明过程中,学生思路一般还较为清楚,但毕竟严格证明表述经验尚显不足,因此,教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求,因此,注意请学生板书其中部分证明过程,借助课件展示部分证明过程;可能部分学生还有一些困难,注意对有困难的学生给予帮助和指导。
第三环节:拓展延伸 活动内容:提请学生思考,除了角平分线、中线、高等特殊的线段外,还可以有哪些线段相等? 在等腰三角形ABC中, (1)如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB呢?由此,你能得到一个什么结论? (2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?如果AD=AC,AE=AB呢?由此你得到什么结论? 活动目的:提高学生变式能力、问题拓广能力,发展学生学习的自主性。 活动注意事项与效果:教学中应注意对学生的引导,因为学生先前这样的经验比较少,可能学生一时不知如何研究问题,教师可以引导学生思考:把底角二等份的线段相等.如果是三等份、四等份……结果如何呢?从而引出“议一议”。 由于课堂时间有限,如果学生全部解决上述问题,时间不够,可以在引导学生提出上述这些问题的基础上,让学生证明其中部分问题,而将其余问题作为课外作业,延伸到课外;当然,也可以对不同的学生提出不同的要求,如普通学生仅仅证明其中部分问题,而要求部分学优生解决所有的问题,甚至要求这部分学优生思考“还可以提出哪些类似问题,你是如何想到这些问题的”。 在学生解决问题的基础上,教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。 下面是学生的课堂表现: [生]在等腰三角形ABC中,如果∠ABD=∠ABC,那么BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似.证明如下: ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵∠ABD=∠ABC, ∴∠ACE=∠ACB, ∴∠ABD=∠ACE. 在△BDC和△CEB中, ∵∠ABD=∠ACE,BC=CB,∠ACB=∠ABC, ∴△BDC≌△CEB(ASA). ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等) [生]如果在△ABC中,AB=AC, ∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠∠ACB,那么BD=CE也是成立的.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,利用等量代换便可得到∠ABD=∠ACE,△BDC与△CEB全等的条件就能满足,也就能得到BD=CE.由此我们可以发现: 在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠∠ABC,∠ACE=∠ACB,就一定有BD=CE成立. [生]也可以更直接地说:在△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠ACE,那么BD=CE. [师]这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来.(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问,请小组代表发言. [生]在△ABC中,AB=AC,如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE;如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个更一般的结论:在△ABC中,AB=AC,AD=AC,AE=AB,那么BD=CE.证明如下: ∵AB=AC. 又∵AD=AC,AE=AB, ∴AD=AE. 在△ADB和△AEC中, AB=AC,∠A=∠A,AD=AE, ∴△ADB≌△AEC(SAS). ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等). [生]一般结论也可更简洁地叙述为:在△ABC中,如果AB=AC,AD=AE,那么BD=CE. [师]这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论,这是我们研究数学问题常用的一种思想方法,它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究,我们可以发现等腰三角形中,相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的. 第四环节::小试牛刀
2、在△ABC中,AB=AC,M为边的中点,ME⊥AB, MF⊥AC BD⊥AC,试猜想线段BD、EM、EF的数量关系,并验证你的猜想
若M是BC延长线上任一点,你上面的猜想是否依然成立
第五环节:探讨收获 课时小结 本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段,并由特殊结论归纳出一般结论,
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