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    • 1. 等腰三角形(二)
    • 来源: |作者:|2019/5/21 15:22:14|浏览次数:902
    • . 等腰三角形(二)

      一、学生知识状况分析

      在八年级上册第七章《平行线的证明》,学生已经感受了证明的必要性,并通过平行线有关命题的证明过程,习得了一些基本的证明方法和基本规范,积累了一定的证明经验;在七年级下,学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题;而前一课时,学生刚刚证明了等腰三角形的性质,这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。

       

      二、教学任务分析

      本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理,进一步研究等腰三角形的一些特殊性质,探索等边三角形的性质。

      学习目标:

      1、通过探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段,进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式,体会证明的必要性;

      2、经历探索-发现-猜想-证明的过程,进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展初步的演绎逻辑推理的能力;

      3、在命题的变式中,发展提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学习能力和思维能力,提高学习的主体性;

      4、在图形的观察中,揭示等腰三角形的本质:对称性,发展学生的几何直觉;

      5、体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性.

      教学重、难点

      重难点:经历探索——发现一一猜想——证明的过程,能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.

       

      三、教学过程分析

      本节课设计了六个教学环节:第一环节:提出问题,引入新课;第二环节:自主探究;第三环节:经典例题  变式练习;第四环节:拓展延伸、探索等边三角形性质; 第五环节: 随堂练习 及时巩固 ;第六环节:探讨收获  课时小结。

       

      第一环节:提出问题,引入新课

      活动内容:在回忆上节课等腰三角形性质的基础上,提出问题:

      在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗?

      活动目的:回顾性质,既为后续研究判定提供了基础;同时,直接提出新的问题,过渡自然,引入本课研究内容,而新的问题是原有性质的一个自然拓广,有助于提高学生提出问题的能力。

       

      第二环节:自主探究

      活动内容:在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等),观察其中有哪些相等的线段,并尝试给出证明。

      活动目的:让学生再次经历探索——发现——猜想——证明的过程,进一步体会证明的必要性,并进行证明,从中进一步体会证明过程,感受证明方法的多样性。

      活动效果与注意事项:活动中,教师应注意给予适度的引导,如可以渐次提出问题:

      你可能得到哪些相等的线段?

      你如何验证你的猜测?

      你能证明你的猜测吗?试作图,写出已知、求证和证明过程;

      还可以有哪些证明方法?

      通过学生的自主探究和同伴的交流,学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出:

      等腰三角形两个底角的平分线相等;

      等腰三角形腰上的高相等;

      等腰三角形腰上的中线相等.

      并对这些命题给予多样的证明。

      如对于等腰三角形两底角的平分线相等,学生得到了下面的证明方法:

      已知:如图,在ABC中,AB=ACBDCEABC的角平分线.

      证法1AB=AC

      ∴∠ABC=ACB(等边对等角)

      ∵∠1=ABC2=ABC

      ∴∠1=2

      BDCCEB中,

      ACB=ABCBC=CB1=2

      ∴△BDC≌△CEB(ASA)

      BD=CE(全等三角形的对应边相等)

      证法2:证明:AB=AC

      ∴∠ABC=ACB

      ∵∠3=4

      ABCACE中,

      3=4AB=ACA=A

      ∴△ABD≌△ACE(ASA)

      BD=CE(全等三角形的对应边相等)

      在证明过程中,学生思路一般还较为清楚,但毕竟严格证明表述经验尚显不足,因此,教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求,因此,注意请学生板书其中部分证明过程,借助课件展示部分证明过程;可能部分学生还有一些困难,注意对有困难的学生给予帮助和指导。

       

      第三环节:拓展延伸

      活动内容:提请学生思考,除了角平分线、中线、高等特殊的线段外,还可以有哪些线段相等?

      在等腰三角形ABC中,

      (1)如果ABD=ABCACE=ACB?由此,你能得到一个什么结论?

      (2)如果AD=ACAE=AB,那么BD=CE?如果AD=ACAE=AB?由此你得到什么结论?

      活动目的:提高学生变式能力、问题拓广能力,发展学生学习的自主性。

      活动注意事项与效果:教学中应注意对学生的引导,因为学生先前这样的经验比较少,可能学生一时不知如何研究问题,教师可以引导学生思考:把底角二等份的线段相等.如果是三等份、四等份……结果如何呢?从而引出议一议

      由于课堂时间有限,如果学生全部解决上述问题,时间不够,可以在引导学生提出上述这些问题的基础上,让学生证明其中部分问题,而将其余问题作为课外作业,延伸到课外;当然,也可以对不同的学生提出不同的要求,如普通学生仅仅证明其中部分问题,而要求部分学优生解决所有的问题,甚至要求这部分学优生思考还可以提出哪些类似问题,你是如何想到这些问题的

      在学生解决问题的基础上,教师还应注意揭示蕴含其中的思想方法。

      下面是学生的课堂表现:

      []在等腰三角形ABC中,如果∠ABD=ABC,那么BD=CE.这和证明等腰三角形两底角的角平分线相等类似.证明如下:

      AB=AC

      ∴∠ABC=ACB(等边对等角)

      又∵∠ABD=ABC, ∴∠ACE=ACB,

      ∴∠ABD=ACE

      在△BDC和△CEB中,

      ∵∠ABD=ACEBC=CB,∠ACB=ABC,

      ∴△BDC≌△CEB(ASA)

      BD=CE(全等三角形的对应边相等)

      []如果在△ABC中,AB=AC, ABD=ABC,∠ACE=ACB,那么BD=CE也是成立的.因为AB=AC,所以∠ABC=ACB,利用等量代换便可得到∠ABD=ACE,△BDC与△CEB全等的条件就能满足,也就能得到BD=CE.由此我们可以发现:

      在△ABC中,AB=AC,∠ABD=ABC,∠ACE=ACB,就一定有BD=CE成立.

      []也可以更直接地说:在△ABC中,AB=AC,∠ABD=ACE,那么BD=CE

       []这两位同学都由特殊结论猜想出了一般结论.请同学们把一般结论的证明过程完整地书写出来.(教师可巡视指导)下面我们来讨论第(2)问,请小组代表发言.

      []在△ABC中,AB=AC,如果AD=ACAE=AB,那么BD=CE;如果AD=ACAE=AB,那么BD=CE.由此我们得到了一个更一般的结论:在△ABC中,AB=ACAD=ACAE=AB,那么BD=CE.证明如下:

      AB=AC

      又∵AD=ACAE=AB

      AD=AE

      在△ADB和△AEC中,

      AB=AC,∠A=AAD=AE

      ∴△ADB≌△AEC(SAS)

      BD=CE(全等三角形的对应边相等)

      []一般结论也可更简洁地叙述为:在△ABC中,如果AB=ACAD=AE,那么BD=CE

      []这里的两个问题都是由特殊结论得出更一般的结论,这是我们研究数学问题常用的一种思想方法,它会使我们得到意想不到的效果.例如通过对这两个问题的研究,我们可以发现等腰三角形中,相等的线段有无数组.这和等腰三角形是轴对称图形这个性质是密不可分的.

      第四环节::小试牛刀

      1. 求证:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等

       

       

       

       

       

       

      2ABC中,AB=ACM为边的中点,MEAB, MFAC

      BDAC,试猜想线段BDEMEF的数量关系,并验证你的猜想

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

      若M是BC延长线上任一点,你上面的猜想是否依然成立

       

          

         第五环节:探讨收获  课时小结

      本节课我们通过观察探索、发现并证明了等腰三角形中相等的线段,并由特殊结论归纳出一般结论,

       

    • 责任编辑:任纪虎
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